Theorem. Riemann Mapping Theorem.
임의의 단순 연결인 $W(\subsetneq \mathbb{C})$ 에 대해, $\varphi:W\rightarrow \mathbb{D}$, biholomorphism 이 존재하며 또한 유일하다. 여기서, $\mathbb{D}=D(0,1)=\{z\in \mathbb{C}\ | \ |z|<1\}$ 이다.
<Proof>
I. 리만 사상 정리는 $\varphi:W \rightarrow \mathbb{D}$ 의 onto property 와 one-to-one property 의 절묘한 조화이다. 만일 $\varphi:W \rightarrow \mathbb{D}$, biholomorphism 이 존재한다면 어떤 성질을 갖는지 생각해보자.
먼저 $\mathbb{D}$ 로의 onto holomorphism 이라 해보자. 단위 원반 $\mathbb{D}$ 가 연관되어 있으므로 Schwarz Lemma 와의 연결성을 찾아볼 수 있다. $\varphi=k \circ h$ 라 두고 $\varphi'(z)=k'(h(z))h'(z)$ 를 생각해볼 수 있는데, $h: W \rightarrow \mathbb{D}$, onto holomorphism 이라 하면 저절로 $k:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}$, holomorphism 이다. 이때, Schwarz Lemma 에 의해 $|k'(z)|\leq 1$ 이고, 따라서 $|\varphi'(z)|\leq |h'(z)|$ 이다. 여기서, $h$ 는 holomorphic 하므로 $h'<\infty$ 이며, 따라서 holomorphism from $W$ onto $\mathbb{D}$ 의 derivative 는 upper bound 를 갖는다는 것을 알 수 있다. 더욱이, $|k'|=1$ 인 것은 $k$ 가 one-to-one 인 것과 같으므로, 결국 biholomorphism 은 derivative 가 supremum 이라 예상할 수 있다.
위의 아이디어는 구체적으로 다음과 같이 전개할 수 있다. 먼저, $\varphi$ 가 one-to-one 이 아니라 해보자. 그러면 $w_1\notin \varphi(W)$ 인 $w_1\in \mathbb{D}$ 가 존재한다. 이에 대해, 위의 논의는 다음의 표현을 통해 얻어진다: \begin{align} \varphi&=\psi_{w_1} \circ \psi_{w_1}^{-1} \circ \varphi \\
&=\psi_{w_1} \circ S \circ g \\
&=(\psi_{w_1} \circ S \circ \psi_b) \circ (\psi_{b}^{-1} \circ g). \\ \\ ( \ g:W\rightarrow \mathbb{D}, \text{ holomorphism such that }& g^2= \psi_{w_1}^{-1} \circ \varphi, \ \text{ and } s(z)=z^2 , \ b=g(a) \text{ for an arbitrarily given }a\in \mathbb{D} \ )
\end{align}
위에서, $\psi_{\alpha}:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}$ 는 $\psi_{\alpha}(0)=\alpha, \ \psi_{\alpha}(\alpha)=0$ 를 만족하는 단위원반간의 뫼비우스 변환
\begin{align}
\psi_{\alpha}(z)=\frac{\alpha-z}{1-\bar{\alpha}z}
\end{align}
이다. 이때, 마지막 두 함수들을 각각 $k$ 와 $h$ 라 두자. 위의 $\varphi$ 가 onto 이지만 one-to-one 은 아닐때, 즉 $\mathcal{F}=\{f \ | \ f:W\rightarrow \mathbb{D}, \ \text{one-to-one holomorphism} \}$ 에 존재하지 않을때 $h$ 가 존재한다. 그러면, 만약 $\varphi$ 가 위에서 주어진 $a$ 에 대해 $\sup_{f\in \mathcal{F}}|f'(a)|$ 를 만족하는 함수이면, $h\neq \varphi$ 이고 $h\in \mathcal{F}$ 이므로, 이는 모순이다. 결국, bijective holomorphism $\varphi \in \mathcal{F}$ 는 위 성질을 가질 것이다.
II. 위는 $\mathcal{F}\neq \emptyset$ 일때 의미를 가진다. 이를 보이기 위해 $W$ 가 유계인 경우와 유계가 아닌 경우로 나누자.
(i) $W$ 가 유계라면, $W\subset D(0,R)$ 을 만족하는 $R$ 이 존재하고 $f(z)=z/R$ 가 존재하여 $f\in \mathcal{F}$ 이다.
(ii) $W$ 가 유계가 아니라 하자. 유계가 아닌 영역도 $\mathbb{C}$ 전체가 아니라면 단위원반으로의 one-to-one holomorphism 이 존재함을 보일것이다. 어떤 $w\in \mathbb{C}\setminus W$ 에 대해 $f(z)=z-w$ 라 두면 이 함수는 단순 연결 영역인 $W$ 에서 non-vanishing holomorphic function이다 - 즉, $W$ 에서 $f(z)\neq 0$. 따라서 $\forall \ n \in \mathbb{N}, \ \exists \ g:W \rightarrow \mathbb{D}$, non-vanishing holomorphism s.t $f(z)=g(z)^n$. $n=2$ 라 두자. $g(z_1)=g(z_2)$ 이면 $f(z_1)=f(z_2)$ 이므로 $g$ 는 one-to-one 이다. 이러한 $g$ 에 대해 $ D(a,r)\subset \mathbb{C}\setminus g(W) $ - 적당한 $a\in\mathbb{C}$ 와 $r>0$ - 가 존재하므로, one-to-one 인 $h(z)=r/(z-a)$ 와 합성하여, $(h\circ g)(W)\subset \mathbb{D}$ 이다.
따라서 $\mathcal{F}\neq \emptyset$ 이다.
III. 증명의 처음에서 예상이라고 한 이유는, 함수열에 특정 조건을 주고 극한을 취하면 그 극한은 원래 함수열의 성질들을 잃어버릴 수 있기 때문이다. 우리는 위 supremum 을 갖는 함수 $\varphi$ 가 one-to-one 임을, 즉 $\mathcal{F}$ 에 존재함을 보여야 하는데, 처음부터 $\mathcal{F}$ 에서 위와 같은 함수를 찾을 것이다.
Montel's Theorem 으로 무언가를 해보기 위해, 먼저 uniform boundedness 를 얻어보자. $f\in \mathcal{F}$ 이면 one-to-one 이므로 $f'\neq 0$ 이다. 또한 코시 적분 공식에 의해 $|f'(z_1)|\leq \max_{\overline{D(z_1,r)}}|f(z)|/r\leq 1$ 이므로 임의의 함수열 $\{f_n\}\subset \mathcal{F}$ 는 uniformly bounded 이다. 따라서, Montel's Theorem 에 의해 어떤 holomorphism 으로 수렴하는 부분수열 $\{f_{n_k}\} \subset \{f_n\} $ 가 존재한다.
주어진 $z_1\in W$ 에 대해 $\varphi_n'(z_1) \nearrow \sup_{f\in \mathcal{F}}| f'(z_1)|$ 를 만족하는 $\{\varphi_n\} \subset \mathcal{F}$ 를 생각해보자. 이때, $\{\varphi_n\}$ 은 uniformly bounded 이므로 Montel's Theorem 에 의해 $\varphi_n \rightarrow \varphi$ 인 holomorphism $\varphi$ 가 존재하고, 또한 $\varphi'_n \rightarrow \varphi'$ 이므로 $ \sup_{f\in \mathcal{F}}|f'(z_1)|=|\varphi'(z_1)|$ 를 얻는다. 더욱이 $f\in \mathcal{F}$ 이면 $f'\neq 0$ 이므로 $|\varphi'(z_1)|= \sup_{f\in \mathcal{F}}|f'(z_1)|\neq 0$ 이고, 따라서 $\varphi$ 는 상수 함수가 아니다. 즉, Hurwitz Theorem 에 의해 one-to-one holomorphism 이다. 결국 $(\mathcal{F} \ni) \ \varphi_n \rightarrow \varphi$ 과 $\varphi'(z_1) =\sup_{f\in \mathcal{F}}| f'(z_1)|$ 을 만족하는 one-to-one holomorphism $\varphi$ 가 존재한다.
마지막으로, 함수열에 극한을 취했기 때문에 $\varphi \in \mathcal{F}$ 를 보여야 한다 - 즉, $\varphi$ 가 $\mathbb{D}$ 로 one-to-one 임을 보여야 한다. $\partial \mathbb{D}$ 에는 함수값이 없음을 보이자. 최대 절대값 원리에 의해, 어떤 $z_1 \in W$ 에 대해 극한값 $|\varphi(z_1)|=1$ 인 점이 존재하면 $\varphi$ 는 상수이다. 이는 모순이므로, 따라서 $\exists \ \varphi\in \mathcal{F} \text{ s . t } |\varphi'(z_1)|=\sup_{f\in \mathcal{F}} |f'(z_1)|.$
따라서, $\mathcal{F}$ 에 onto holomorphism 이 존재한다. 즉, 임의의 $W \subsetneq \mathbb{C}$ 에 대하여 $\varphi:W \rightarrow \mathbb{D}$, biholomorphism 이 존재한다.
$\text{Q . E . D .}$
Note. Let $\varphi: W (\subsetneq \mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{D}$. Then, $\varphi$ is biholomorphism if and only if $|\varphi(z_1)| = \sup_{f \in \mathcal{F}}|f'(z_1)| $ for some $z_1 \in W$ - this idea will play an important role in proving the Uniformization Theorem. Also Note that for each $z_1\in W$ if $\varphi(z_1)=0$ and $\varphi'(z_1)\in \mathbb{R}_+$, then such biholomorphism exists uniquely.